বিভ্রান্তি সহ সম্পদ-সীমাবদ্ধ ব্যবস্থার জন্য শক্তিশালী স্থির-অবস্থা-সচেতন MPC

1. ভূমিকা

মডেল প্রেডিক্টিভ কন্ট্রোল (MPC) হল একটি শক্তিশালী উন্নত নিয়ন্ত্রণ কৌশল যা সীমাবদ্ধতা সহ বহু-পরিবর্তনশীল ব্যবস্থা পরিচালনার ক্ষমতার জন্য বিখ্যাত। তবে, প্রতিটি সময় ধাপে অনলাইনে একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা সমাধানের উপর এর নির্ভরতা একটি উল্লেখযোগ্য গণনীয় বোঝা তৈরি করে। এই সীমাবদ্ধতা এম্বেডেড সিস্টেম, ড্রোন বা এজ কম্পিউটিং ডিভাইসের মতো সীমিত গণনা সম্পদযুক্ত ব্যবস্থার জন্য বিশেষভাবে তীব্র। এটিকে প্রশমিত করার ঐতিহ্যগত পদ্ধতিগুলি—যেমন পূর্বাভাস দিগন্ত সংক্ষিপ্ত করা—প্রায়শই স্থির-অবস্থা অভিসারীতার মতো কর্মক্ষমতা গ্যারান্টি বিঘ্নিত করে। একটি সমাধান হিসাবে চালু করা স্থির-অবস্থা-সচেতন MPC কাঠামোটি অতিরিক্ত অনলাইন গণনা ছাড়াই আউটপুট ট্র্যাকিং এবং একটি কাঙ্ক্ষিত ভারসাম্যে অভিসরণ নিশ্চিত করে। তবুও, এর একটি গুরুতর ত্রুটি হল বাহ্যিক বিভ্রান্তির বিরুদ্ধে দৃঢ়তার অভাব, যা বাস্তব-বিশ্বে মোতায়েনের জন্য একটি অপরিহার্য প্রয়োজন। এই গবেষণাপত্রটি সরাসরি এই ফাঁকটি সমাধান করে স্থির-অবস্থা-সচেতন MPC কাঠামোর মধ্যে টিউব-ভিত্তিক শক্তিশালী নিয়ন্ত্রণ কৌশলগুলিকে একীভূত করে, এমন একটি পদ্ধতি তৈরি করে যা গণনীয়ভাবে দক্ষ এবং বিভ্রান্তি-প্রতিরোধী উভয়ই।

2. প্রাথমিক ধারণা ও সমস্যা বিবৃতি

গবেষণাপত্রটি সীমিত সংযোজনিক বিভ্রান্তি এবং অবস্থা/ইনপুট সীমাবদ্ধতার অধীন বিচ্ছিন্ন-সময় রৈখিক সময়-অপরিবর্তনশীল (LTI) ব্যবস্থা বিবেচনা করে। মূল সমস্যা হল একটি MPC আইন নকশা করা যা: ১) অনলাইন গণনা সীমিত করতে একটি সংক্ষিপ্ত, নির্দিষ্ট পূর্বাভাস দিগন্ত নিয়ে কাজ করে। ২) সর্বদা সীমাবদ্ধতা পূরণের গ্যারান্টি দেয়। ৩) একটি কাঙ্ক্ষিত স্থির-অবস্থায় অভিসরণ নিশ্চিত করে। ৪) স্থায়ী, সীমিত বাহ্যিক বিভ্রান্তির প্রতি দৃঢ়। ব্যবস্থাটিকে মডেল করা হয়েছে: $x_{k+1} = Ax_k + Bu_k + w_k$, যেখানে $x_k \in \mathbb{R}^n$, $u_k \in \mathbb{R}^m$, এবং $w_k \in \mathbb{W} \subset \mathbb{R}^n$ হল একটি সীমিত বিভ্রান্তি। সেটগুলি $\mathbb{X}$ এবং $\mathbb{U}$ যথাক্রমে অবস্থা এবং ইনপুট সীমাবদ্ধতা সংজ্ঞায়িত করে।

3. প্রস্তাবিত শক্তিশালী স্থির-অবস্থা-সচেতন MPC

3.1 মূল গঠন

প্রস্তাবিত নিয়ন্ত্রকটি নামমাত্র স্থির-অবস্থা-সচেতন MPC-এর উপর নির্মিত। মূল বিষয় হল পূর্বাভাসিত অবস্থা ট্র্যাজেক্টরিকে প্যারামিটারাইজ করা যাতে এটি স্বাভাবিকভাবেই ব্যবস্থাটিকে একটি সম্ভাব্য স্থির-অবস্থা $(x_s, u_s)$-এর দিকে চালিত করে। অনলাইন অপ্টিমাইজেশন সমস্যাটি সংক্ষিপ্ত দিগন্ত জুড়ে একটি খরচ ফাংশন কমানোর জন্য গঠন করা হয়, যখন টার্মিনাল সীমাবদ্ধতা প্রয়োগ করা হয় যা চূড়ান্ত পূর্বাভাসিত অবস্থাকে এই স্থির-অবস্থার সাথে সংযুক্ত করে, সংক্ষিপ্ত পূর্বাভাস উইন্ডো সত্ত্বেও দীর্ঘ-দিগন্ত অভিসরণ বৈশিষ্ট্য নিশ্চিত করে।

3.2 টিউব-ভিত্তিক বিভ্রান্তি ব্যবস্থাপনা

দৃঢ়তা প্রবর্তন করার জন্য, লেখকরা একটি টিউব-ভিত্তিক MPC কৌশল প্রয়োগ করেন। কেন্দ্রীয় ধারণাটি হল নিয়ন্ত্রণ নীতিকে দুটি উপাদানে বিভক্ত করা: একটি নামমাত্র ইনপুট যা একটি বিভ্রান্তি-মুক্ত মডেলের জন্য স্থির-অবস্থা-সচেতন MPC সমাধান করে গণনা করা হয়, এবং একটি সহায়ক প্রতিক্রিয়া আইন যা অফলাইনে নকশা করা হয় প্রকৃত, বিভ্রান্ত অবস্থাকে নামমাত্র ট্র্যাজেক্টরির চারপাশে একটি সীমিত "টিউব"-এর মধ্যে রাখার জন্য। এই টিউব, প্রায়শই একটি শক্তিশালী ধনাত্মক অপরিবর্তনীয় (RPI) সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত, গ্যারান্টি দেয় যে যদি নামমাত্র অবস্থা শক্ত সীমাবদ্ধতাগুলি পূরণ করে, তবে বিভ্রান্তি সত্ত্বেও প্রকৃত অবস্থা মূল সীমাবদ্ধতাগুলি পূরণ করবে। এই মার্জিত বিচ্ছিন্নতার অর্থ হল জটিল শক্তিশালী সীমাবদ্ধতা ব্যবস্থাপনা অফলাইনে করা হয়, নামমাত্র নিয়ন্ত্রকের অনলাইন গণনীয় সরলতা সংরক্ষণ করে।

4. তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ

4.1 পুনরাবৃত্তিমূলক সম্ভাব্যতা

গবেষণাপত্রটি একটি কঠোর প্রমাণ প্রদান করে যে যদি প্রাথমিক সময় ধাপে অপ্টিমাইজেশন সমস্যাটি সম্ভব হয়, তবে প্রস্তাবিত নিয়ন্ত্রণ আইনের ক্রিয়ায় এবং সীমিত বিভ্রান্তির উপস্থিতিতে এটি সমস্ত ভবিষ্যত সময় ধাপের জন্য সম্ভব থাকে। এটি যেকোনো ব্যবহারিক MPC বাস্তবায়নের জন্য একটি মৌলিক প্রয়োজনীয়তা।

4.2 বদ্ধ-লুপ স্থিতিশীলতা

লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা তত্ত্ব ব্যবহার করে, লেখকরা প্রদর্শন করেন যে বদ্ধ-লুপ ব্যবস্থাটি বিভ্রান্তির সাপেক্ষে ইনপুট-টু-স্টেট স্থিতিশীল (ISS)। এর অর্থ হল ব্যবস্থার অবস্থা শেষ পর্যন্ত কাঙ্ক্ষিত স্থির-অবস্থার চারপাশে একটি সীমিত অঞ্চলে অভিসৃত হবে, এই অঞ্চলের আকার বিভ্রান্তিগুলির সীমার সমানুপাতিক।

5. সিমুলেশন ফলাফল

একটি বেঞ্চমার্ক সিস্টেমে (যেমন, একটি ডাবল ইন্টিগ্রেটর) সংখ্যাগত সিমুলেশন নিয়ন্ত্রকের কর্মক্ষমতা যাচাই করতে ব্যবহৃত হয়। মূল মেট্রিকগুলির মধ্যে রয়েছে: সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন (কোনটি পর্যবেক্ষণ করা হয়নি), অভিসরণ ত্রুটি (তাত্ত্বিক টিউবের মধ্যে সীমিত), এবং প্রতি নিয়ন্ত্রণ ধাপে গণনা সময় (দীর্ঘ-দিগন্ত শক্তিশালী MPC-এর তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে কম)। ফলাফলগুলি দৃশ্যত প্রদর্শন করে কিভাবে স্থায়ী বিভ্রান্তির অধীনেও প্রকৃত অবস্থা ট্র্যাজেক্টরি নামমাত্র ট্র্যাজেক্টরির চারপাশে গণনা করা টিউবের মধ্যে থাকে।

6. প্যারট বেবপ ২-এ পরীক্ষামূলক যাচাই

প্রস্তাবিত পদ্ধতির ব্যবহারিকতা পরীক্ষা করা হয়েছে একটি প্যারট বেবপ ২ কোয়াড্রোটর ড্রোনে, একটি প্ল্যাটফর্ম যার অনবোর্ড প্রক্রিয়াকরণ শক্তি সীমিত। নিয়ন্ত্রণের উদ্দেশ্য হল সিমুলেটেড বাতাসের ঝাপটা (বিভ্রান্তি হিসাবে মডেল করা) উপস্থিতিতে ট্র্যাজেক্টরি ট্র্যাকিং (যেমন, একটি আট-আকারের প্যাটার্ন)। পরীক্ষামূলক তথ্য দেখায় যে শক্তিশালী স্থির-অবস্থা-সচেতন MPC সফলভাবে ড্রোনটিকে ন্যূনতম বিচ্যুতি সহ কাঙ্ক্ষিত পথের কাছাকাছি রাখে, যখন অনবোর্ড কম্পিউটারের CPU ব্যবহার গ্রহণযোগ্য সীমার মধ্যে থাকে, যা পদ্ধতির গণনীয় দক্ষতা এবং বাস্তব-বিশ্বের দৃঢ়তা নিশ্চিত করে।

7. উপসংহার

গবেষণাপত্রটি সফলভাবে একটি অভিনব শক্তিশালী MPC কাঠামো উপস্থাপন করে যা স্থির-অবস্থা-সচেতন নকশার গণনীয় সুবিধাগুলিকে টিউব-ভিত্তিক MPC-এর দৃঢ়তা গ্যারান্টির সাথে একীভূত করে। এটি অনিশ্চিত পরিবেশে কাজ করা সম্পদ-সীমাবদ্ধ ব্যবস্থাগুলিতে উচ্চ-কর্মক্ষমতা, সীমাবদ্ধতা-সচেতন নিয়ন্ত্রণ বাস্তবায়নের জন্য একটি কার্যকর সমাধান প্রদান করে, যেমনটি তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ এবং হার্ডওয়্যার পরীক্ষা উভয় দ্বারা প্রমাণিত।

8. মূল বিশ্লেষণ ও বিশেষজ্ঞ মন্তব্য

9. প্রযুক্তিগত বিবরণ ও গাণিতিক কাঠামো

সময় $k$-এ অনলাইন অপ্টিমাইজেশন সমস্যাটি হল: $$ \begin{aligned} \min_{\mathbf{u}_k, x_s, u_s} &\quad \sum_{i=0}^{N-1} \ell(\bar{x}_{i|k} - x_s, \bar{u}_{i|k} - u_s) + V_f(\bar{x}_{N|k} - x_s) \\ \text{s.t.} &\quad \bar{x}_{0|k} = \hat{x}_k, \\ &\quad \bar{x}_{i+1|k} = A \bar{x}_{i|k} + B \bar{u}_{i|k}, \\ &\quad \bar{x}_{i|k} \in \bar{\mathbb{X}} \subseteq \mathbb{X} \ominus \mathcal{Z}, \\ &\quad \bar{u}_{i|k} \in \bar{\mathbb{U}} \subseteq \mathbb{U} \ominus K\mathcal{Z}, \\ &\quad \bar{x}_{N|k} \in x_s \oplus \mathcal{X}_f, \\ &\quad (x_s, u_s) \in \mathcal{Z}_{ss}. \end{aligned} $$ এখানে, $\bar{x}, \bar{u}$ হল নামমাত্র অবস্থা/ইনপুট, $N$ হল সংক্ষিপ্ত দিগন্ত, $\ell$ এবং $V_f$ হল পর্যায় এবং টার্মিনাল খরচ। সমালোচনামূলক উপাদানগুলি হল শক্ত সীমাবদ্ধতা সেট $\bar{\mathbb{X}}, \bar{\mathbb{U}}$ (মূল সেটগুলি RPI সেট $\mathcal{Z}$ দ্বারা পন্ট্রিয়াগিন পার্থক্য $\ominus$ এর মাধ্যমে সঙ্কুচিত), এবং সহায়ক আইন $u_k = \bar{u}_{0|k}^* + K(x_k - \bar{x}_{0|k}^*)$, যেখানে $K$ হল একটি স্থিতিশীল লাভ। সেট $\mathcal{Z}_{ss}$ সম্ভাব্য স্থির-অবস্থা সংজ্ঞায়িত করে।

10. বিশ্লেষণ কাঠামো: একটি ধারণাগত কেস স্টাডি

পরিস্থিতি: স্বায়ত্তশাসিত ডেলিভারি ড্রোন একটি শহুরে ক্যানিয়নে নেভিগেট করছে (সম্পদ-সীমাবদ্ধ কম্পিউটার, বাতাসের বিভ্রান্তি)।
ধাপ ১ – অফলাইন নকশা:

1. মডেল ও বিভ্রান্তি সেট: হোভারের চারপাশে রৈখিক গতিবিদ্যা চিহ্নিত করুন। বাতাসের ঝাপটাকে একটি সীমিত সেট $\mathbb{W}$ হিসাবে চিহ্নিত করুন (যেমন, অনুভূমিক সমতলে ±২ মি/সে)।
2. RPI টিউব গণনা করুন: প্রতিক্রিয়া লাভ $K$ (যেমন, LQR) নকশা করুন এবং $e_{k+1} = (A+BK)e_k + w_k$-এর জন্য সর্বনিম্ন RPI সেট $\mathcal{Z}$ গণনা করুন। এটি "ত্রুটি টিউব" সংজ্ঞায়িত করে।
3. সীমাবদ্ধতা শক্ত করুন: ড্রোনের ফ্লাইট করিডোর (অবস্থা সীমাবদ্ধতা) এবং মোটর থ্রাস্ট সীমা (ইনপুট সীমাবদ্ধতা) $\mathcal{Z}$ এবং $K\mathcal{Z}$ দ্বারা সঙ্কুচিত করুন $\bar{\mathbb{X}}, \bar{\mathbb{U}}$ পেতে।
4. স্থির-অবস্থা সেট সংজ্ঞায়িত করুন: $\mathcal{Z}_{ss}$ শক্ত করিডোরের মধ্যে সমস্ত স্থির হোভার পয়েন্ট ধারণ করে।

ধাপ ২ – অনলাইন অপারেশন: প্রতি ১০মিলিসেকেন্ড নিয়ন্ত্রণ চক্রে:

1. অবস্থা পরিমাপ: সেন্সর থেকে বর্তমান ড্রোন অবস্থান/বেগ $x_k$ পান।
2. নামমাত্র MPC সমাধান করুন: ছোট QP (ব্যবহার করে $\bar{\mathbb{X}}, \bar{\mathbb{U}}, \mathcal{Z}_{ss}$) সমাধান করুন নামমাত্র পরিকল্পনা $\bar{u}^*$ এবং লক্ষ্য স্থির-অবস্থা পেতে।
3. যৌগিক নিয়ন্ত্রণ প্রয়োগ করুন: $u_k = \bar{u}^*_{0|k} + K(x_k - \bar{x}^*_{0|k})$। প্রথম পদটি মিশন নির্দেশনা দেয়, দ্বিতীয় পদটি সক্রিয়ভাবে বাতাসের ঝাপটা প্রত্যাখ্যান করে ড্রোনটিকে টিউবের মধ্যে রাখে।

এই কাঠামোটি শুধুমাত্র হালকা ওজনের অনলাইন গণনা ব্যবহার করে বাতাস সত্ত্বেও নিরাপদ ফ্লাইট (সীমাবদ্ধতা পূরণ) এবং মিশন সম্পূর্ণতা (স্থির-অবস্থা অভিসরণ) গ্যারান্টি দেয়।

11. ভবিষ্যতের প্রয়োগ ও গবেষণার দিকনির্দেশ

• এজ AI ও IoT: উৎপাদন এবং স্বাস্থ্যসেবায় সুনির্দিষ্ট কাজের জন্য স্মার্ট সেন্সর, পরিধেয় ডিভাইস এবং মাইক্রো-রোবটগুলিতে উন্নত নিয়ন্ত্রণ মোতায়েন।
• স্বায়ত্তশাসিত ঝাঁক: সস্তা, সরল ড্রোন বা রোবটের বড় দলের জন্য স্কেলযোগ্য নিয়ন্ত্রণ যেখানে প্রতিটি এজেন্টের গণনীয় সীমা গুরুতর।
• পরবর্তী প্রজন্মের গবেষণা:
  • টিউব শেখা: রিয়েল-টাইম ডেটা ব্যবহার করে অভিযোজিতভাবে বিভ্রান্তি সেট $\mathbb{W}$ অনুমান করা এবং টিউব সঙ্কুচিত করা, রক্ষণশীলতা হ্রাস করা। এটি অভিযোজিত MPC এবং শিক্ষণ-ভিত্তিক নিয়ন্ত্রণ প্যারাডাইমের সাথে একীভূত হয়।
  • অরৈখিক সম্প্রসারণ: অরৈখিক টিউব MPC বা ডিফারেনশিয়াল ফ্ল্যাটনেসের ধারণা ব্যবহার করে অরৈখিক ব্যবস্থাগুলিতে দর্শন প্রয়োগ করা, আক্রমণাত্মক ড্রোন ম্যানুভারিংয়ের জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
  • হার্ডওয়্যার-সফটওয়্যার সহ-নকশা: বিশেষায়িত এম্বেডেড চিপ (FPGA, ASIC) তৈরি করা যা অতি-নিম্ন শক্তিতে এই কাঠামোর নির্দিষ্ট, ছোট QP সমাধানের জন্য অপ্টিমাইজ করা।

12. তথ্যসূত্র

1. Jafari Ozoumchelooei, H., & Hosseinzadeh, M. (2023). Robust Steady-State-Aware Model Predictive Control for Systems with Limited Computational Resources and External Disturbances. [Journal Name].
2. Mayne, D. Q., Seron, M. M., & Raković, S. V. (2005). Robust model predictive control of constrained linear systems with bounded disturbances. Automatica, 41(2), 219-224.
3. Rawlings, J. B., Mayne, D. Q., & Diehl, M. M. (2017). Model Predictive Control: Theory, Computation, and Design (2nd ed.). Nob Hill Publishing.
4. ETH Zurich, Automatic Control Laboratory. (n.d.). Lecture Notes on Model Predictive Control. Retrieved from [Institute Website].
5. Hewing, L., Wabersich, K. P., Menner, M., & Zeilinger, M. N. (2020). Learning-based model predictive control: Toward safe learning in control. Annual Review of Control, Robotics, and Autonomous Systems, 3, 269-296.