परेशान संसाधन-सीमित प्रणालियों के लिए मजबूत स्थिर-अवस्था जागरूक मॉडल पूर्वानुमान नियंत्रण

1. परिचय

Model Predictive Control (MPC) is a powerful advanced control strategy, renowned for its ability to handle constrained multivariable systems. However, its reliance on solving an optimization problem online at each time step imposes a significant computational burden. This limitation is particularly pronounced for systems with constrained computational resources, such as embedded systems, unmanned aerial vehicles (UAVs), or edge computing devices. Traditional methods to mitigate this issue, such as shortening the prediction horizon, often sacrifice performance guarantees like steady-state convergence. The steady-state-aware MPC framework, introduced as a solution, ensures output tracking and convergence to the desired equilibrium point without requiring additional online computation. However, its key shortcoming is the lack of robustness against external disturbances, which is an indispensable requirement for practical deployment. This paper directly addresses this gap by integrating tube-based robust control techniques into the steady-state-aware MPC framework, creating an approach that is both computationally efficient and disturbance-resilient.

2. पूर्व ज्ञान एवं समस्या कथन

यह लेख असतत-समय रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों पर विचार करता है जो परिबद्ध योगात्मक विक्षोभों तथा अवस्था/निवेश बाधाओं के अधीन हैं। मूल समस्या एक मॉडल पूर्वानुमान नियंत्रण नियम को डिजाइन करना है जो: 1) ऑनलाइन गणना को सीमित करने के लिए एक छोटे और निश्चित पूर्वानुमान क्षितिज का उपयोग करके संचालित हो सके; 2) हमेशा बाधा संतुष्टि सुनिश्चित करे; 3) वांछित स्थिर-अवस्था में अभिसरण सुनिश्चित करे; 4) निरंतर परिबद्ध बाह्य विक्षोभों के प्रति मजबूत हो। प्रणाली को इस प्रकार मॉडल किया गया है: $x_{k+1} = Ax_k + Bu_k + w_k$, जहाँ $x_k \in \mathbb{R}^n$, $u_k \in \mathbb{R}^m$, $w_k \in \mathbb{W} \subset \mathbb{R}^n$ एक परिबद्ध विक्षोभ है। समुच्चय $\mathbb{X}$ और $\mathbb{U}$ क्रमशः अवस्था और निवेश बाधाओं को परिभाषित करते हैं।

3. प्रस्तावित रोबस्ट स्टेडी-स्टेट अवेयर मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल

3.1 मुख्य सूत्र

प्रस्तावित नियंत्रक नॉमिनल स्टेडी-स्टेट अवेयर मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल पर आधारित है। इसकी कुंजी पूर्वानुमानित अवस्था प्रक्षेपवक्र को पैरामीट्राइज़ करने में निहित है, ताकि यह प्रणाली को स्वाभाविक रूप से एक व्यवहार्य स्थिर-अवस्था $(x_s, u_s)$ की ओर प्रेरित कर सके। ऑनलाइन अनुकूलन समस्या का निर्माण लघु क्षितिज पर लागत फलन को न्यूनतम करने के लिए किया गया है, जबकि एक टर्मिनल बाधा लागू की गई है जो अंतिम पूर्वानुमानित अवस्था को उस स्थिर-अवस्था से जोड़ती है, यह सुनिश्चित करते हुए कि छोटी पूर्वानुमान विंडो के तहत भी दीर्घ-क्षितिज अभिसरण गुण मौजूद हैं।

3.2 पाइपलाइन-आधारित विक्षोभ प्रसंस्करण

मजबूती प्रस्तुत करने के लिए, लेखक ने पाइपलाइन-आधारित मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल रणनीति अपनाई। इसका मूल विचार नियंत्रण रणनीति को दो भागों में विभाजित करना है: एक भाग बिना विक्षोभ वाले मॉडल के स्थिर-अवस्था-जागरूक मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल को हल करके प्राप्त किया जाता है।Nominalइनपुट; दूसरा ऑफ़लाइन डिज़ाइन किया गया हैसहायकफीडबैक कानून, जिसका उद्देश्य वास्तविक अशांत अवस्था को नाममात्र प्रक्षेपवक्र के चारों ओर एक परिबद्ध "पाइपलाइन" के भीतर रखना है। इस पाइपलाइन को आमतौर पर एक मजबूत सकारात्मक अपरिवर्तनीय सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो गारंटी देता है: यदि नाममात्र अवस्था कड़े बाधाओं को पूरा करती है, तो भले ही गड़बड़ी मौजूद हो, वास्तविक अवस्था मूल बाधाओं को पूरा करेगी। इस चतुराईपूर्ण वियोजन का अर्थ है कि जटिल मजबूत बाधा संसाधन ऑफ़लाइन पूरा किया जाता है, जिससे नाममात्र नियंत्रक की ऑनलाइन गणना की सरलता बरकरार रहती है।

4. सैद्धांतिक विश्लेषण

4.1 Recursive Feasibility

इस लेख में एक कठोर प्रमाण प्रदान किया गया है: यदि प्रारंभिक समय चरण में अनुकूलन समस्या व्यवहार्य है, तो प्रस्तावित नियंत्रण नियम के तहत और परिबद्ध विक्षोभ की उपस्थिति में, यह समस्या भविष्य के सभी समय चरणों में व्यवहार्य बनी रहेगी। यह किसी भी व्यावहारिक मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल कार्यान्वयन की मूलभूत आवश्यकता है।

4.2 Closed-loop Stability

लेखकों ने ल्यापुनोव स्थिरता सिद्धांत का उपयोग करके यह सिद्ध किया कि व्यवधान के संबंध में क्लोज्ड-लूप प्रणाली इनपुट-टू-स्टेट स्थिर है। इसका अर्थ है कि प्रणाली की अवस्था अंततः वांछित स्थिर-अवस्था के चारों ओर एक परिबद्ध क्षेत्र में अभिसरित हो जाएगी, जिसका आकार व्यवधान सीमा के परिमाण के समानुपाती होता है।

5. सिमुलेशन परिणाम

नियंत्रक के प्रदर्शन को सत्यापित करने के लिए एक बेंचमार्क प्रणाली (उदाहरण के लिए, डबल इंटीग्रेटर) पर संख्यात्मक सिमुलेशन किए गए। प्रमुख मेट्रिक्स में शामिल हैं: बाधा उल्लंघन (नहीं देखा गया), अभिसरण त्रुटि (सैद्धांतिक पाइपलाइन के भीतर परिबद्ध), और प्रत्येक नियंत्रण चरण का गणना समय (लंबी क्षितिज रोबस्ट मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल की तुलना में काफी कम)। परिणाम दृश्य रूप से दर्शाते हैं कि कैसे निरंतर विक्षोभ के तहत भी, वास्तविक अवस्था प्रक्षेपवक्र नाममात्र प्रक्षेपवक्र के आसपास की गणना पाइपलाइन के भीतर बना रहता है।

6. Parrot Bebop 2 ड्रोन पर प्रायोगिक सत्यापन

प्रस्तावित पद्धति की व्यावहारिकता का परीक्षण Parrot Bebop 2 क्वाडकॉप्टर पर किया गया, जो एक सीमित ऑनबोर्ड प्रसंस्करण क्षमता वाला प्लेटफॉर्म है। नियंत्रण लक्ष्य अनुकरणित झोंके (जिसे व्यवधान के रूप में मॉडल किया गया) की उपस्थिति में एक प्रक्षेपवक्र (जैसे, 8-आकार प्रक्षेपवक्र) का अनुसरण करना था। प्रायोगिक डेटा से पता चलता है कि रोबस्ट स्टेडी-स्टेट अवेयर मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल ने ड्रोन को न्यूनतम विचलन के साथ वांछित पथ के निकट बनाए रखा, जबकि ऑनबोर्ड कंप्यूटर का CPU उपयोग स्वीकार्य सीमा के भीतर रहा, जिससे इस पद्धति की कम्प्यूटेशनल दक्षता और व्यावहारिक मजबूती के लाभ की पुष्टि हुई।

7. निष्कर्ष

इस पत्र ने एक नवीन रोबस्ट मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल फ्रेमवर्क का सफलतापूर्वक प्रस्ताव रखा है, जो स्टेडी-स्टेट अवेयर डिज़ाइन के कम्प्यूटेशनल लाभों को ट्यूब-आधारित मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल की रोबस्टनेस गारंटी के साथ जोड़ता है। सैद्धांतिक विश्लेषण और हार्डवेयर प्रयोगों के माध्यम से प्रदर्शित, यह अनिश्चित वातावरण में संचालित संसाधन-सीमित प्रणालियों पर उच्च-प्रदर्शन, बाधा-अवगत नियंत्रण प्राप्त करने के लिए एक व्यवहार्य समाधान प्रदान करता है।

8. मूल विश्लेषण एवं विशेषज्ञ टिप्पणी

9. तकनीकी विवरण एवं गणितीय ढांचा

在时刻 $k$ 的在线优化问题为： $$ \begin{aligned} \min_{\mathbf{u}_k, x_s, u_s} &\quad \sum_{i=0}^{N-1} \ell(\bar{x}_{i|k} - x_s, \bar{u}_{i|k} - u_s) + V_f(\bar{x}_{N|k} - x_s) \\ \text{s.t.} &\quad \bar{x}_{0|k} = \hat{x}_k, \\ &\quad \bar{x}_{i+1|k} = A \bar{x}_{i|k} + B \bar{u}_{i|k}, \\ &\quad \bar{x}_{i|k} \in \bar{\mathbb{X}} \subseteq \mathbb{X} \ominus \mathcal{Z}, \\ &\quad \bar{u}_{i|k} \in \bar{\mathbb{U}} \subseteq \mathbb{U} \ominus K\mathcal{Z}, \\ &\quad \bar{x}_{N|k} \in x_s \oplus \mathcal{X}_f, \\ &\quad (x_s, u_s) \in \mathcal{Z}_{ss}. \end{aligned} $$ 其中，$\bar{x}, \bar{u}$ 是标称状态/输入，$N$ 是短时域，$\ell$ 和 $V_f$ 是阶段成本和终端成本。关键要素是कसी हुई बाधा सेट $\bar{\mathbb{X}}, \bar{\mathbb{U}}$ (मूल समुच्चय पोंट्रीयागिन अंतर $\ominus$ द्वारा मजबूत सकारात्मक अपरिवर्तनीय समुच्चय $\mathcal{Z}$ घटाकर संकुचित किए गए), औरसहायक नियंत्रण नियम $u_k = \bar{u}_{0|k}^* + K(x_k - \bar{x}_{0|k}^*)$, जहां $K$ स्थिरीकरण लाभ है। समुच्चय $\mathcal{Z}_{ss}$ संभव स्थिर-अवस्था को परिभाषित करता है।

10. विश्लेषणात्मक ढांचा: संकल्पनात्मक केस अध्ययन

परिदृश्य: शहरी कैन्यन में नेविगेट करने वाला स्वायत्त डिलीवरी ड्रोन (गणना संसाधन सीमित, पवन व्यवधान मौजूद)।
चरण 1 - ऑफ़लाइन डिज़ाइन:

1. मॉडल और विक्षोभ सेट: होवर बिंदु के निकट रैखिक गतिकी मॉडल की पहचान करें। झोंकों को एक परिबद्ध समुच्चय $\mathbb{W}$ (उदाहरण के लिए, क्षैतिज तल में ±2 m/s) के रूप में चरित्रित करें।
2. Robust Positive Invariant Tube की गणना करें: फीडबैक गेन $K$ डिज़ाइन करें (उदाहरण के लिए, LQR), और $e_{k+1} = (A+BK)e_k + w_k$ के लिए न्यूनतम Robust Positive Invariant सेट $\mathcal{Z}$ की गणना करें। यह "त्रुटि ट्यूब" को परिभाषित करता है।
3. बाधाओं को कसें: ड्रोन की उड़ान गलियारा (अवस्था बाधाएँ) और मोटर थ्रस्ट सीमाएँ (इनपुट बाधाएँ) को क्रमशः $\mathcal{Z}$ और $K\mathcal{Z}$ से घटाकर $\bar{\mathbb{X}}, \bar{\mathbb{U}}$ प्राप्त करें।
4. स्थिर-अवस्था समुच्चय को परिभाषित करें: $\mathcal{Z}_{ss}$ में संकुचित गलियारे के भीतर सभी स्थिर होवरिंग बिंदु सम्मिलित हैं।

चरण 2 – ऑनलाइन संचालन: प्रत्येक 10ms के नियंत्रण चक्र में:

1. मापित अवस्था: सेंसर से UAV की वर्तमान स्थिति/वेग $x_k$ प्राप्त करें।
2. नॉमिनल मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल का समाधान करें: एक छोटी द्विघात प्रोग्रामिंग समस्या ($\bar{\mathbb{X}}, \bar{\mathbb{U}}, \mathcal{Z}_{ss}$ का उपयोग करके) हल करें, नॉमिनल योजना $\bar{u}^*$ और लक्ष्य स्थिर-अवस्था प्राप्त करें।
3. कंपोजिट कंट्रोल लागू करें: $u_k = \bar{u}^*_{0|k} + K(x_k - \bar{x}^*_{0|k})$। पहला पद कार्य निष्पादन को निर्देशित करता है, और दूसरा पद सक्रिय रूप से झोंके को दबाता है, जिससे मानवरहित हवाई वाहन पाइपलाइन के भीतर बना रहता है।

यह ढांचा यह सुनिश्चित करता है कि हवा की स्थिति में भी, केवल हल्के ऑनलाइन गणना का उपयोग करके, सुरक्षित उड़ान (बाधा संतुष्टि) और कार्य पूर्णता (स्थिर-अवस्था अभिसरण) प्राप्त किया जा सकता है।

11. भविष्य के अनुप्रयोग और अनुसंधान दिशाएँ

• एज Artificial Intelligence और Internet of Things: विनिर्माण और स्वास्थ्य सेवा में सटीक कार्यों के लिए स्मार्ट सेंसर, वियरेबल डिवाइस और माइक्रो रोबोट्स पर उन्नत नियंत्रण तैनात करना।
• स्वायत्त समूह: बड़े पैमाने पर सस्ते, सरल ड्रोन या रोबोट समूहों के लिए स्केलेबल नियंत्रण प्रदान करना, जहां प्रत्येक इकाई गंभीर कम्प्यूटेशनल सीमाओं का सामना करती है।
• अगली पीढ़ी के अनुसंधान दिशाएँ:
  • सीखने की पाइपलाइन: वास्तविक समय डेटा का उपयोग करके गड़बड़ी सेट $\mathbb{W}$ का अनुकूली अनुमान लगाना और पाइपलाइन को संकुचित करना, जिससे रूढ़िवादिता कम हो। इसे अनुकूली मॉडल पूर्वानुमान नियंत्रण और सीखने-आधारित नियंत्रण प्रतिमानों के साथ एकीकृत किया गया है।
  • गैर-रैखिक विस्तार: गैर-रैखिक पाइपलाइन मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल या डिफरेंशियल फ्लैटनेस की अवधारणा का उपयोग करके इस विचार को गैर-रैखिक प्रणालियों पर लागू करना, जो मानवरहित हवाई वाहनों के आक्रामक मैन्युवर्स के लिए महत्वपूर्ण है।
  • हार्डवेयर-सॉफ्टवेयर सह-डिजाइन: विशिष्ट एम्बेडेड चिप्स (FPGA, ASIC) का निर्माण करें, जो अति-कम बिजली खपत के साथ इस फ्रेमवर्क के विशिष्ट छोटे द्विघात प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए अनुकूलित हों।

12. संदर्भ सूची

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